算法系列15天速成 第十一天 树操作（上）
先前我们讲的都是“线性结构”，他的特征就是“一个节点最多有一个”前驱“和一个”后继“。那么我们今天讲的树会是怎样的呢？
我们可以对”线性结构“改造一下，变为”一个节点最多有一个"前驱“和”多个后继“。哈哈，这就是我们今天说的”树“。
一： 树
我们思维中的”树“就是一种枝繁叶茂的形象，那么数据结构中的”树“该是怎么样呢？对的，他是一种现实中倒立的树。
1：术语
其实树中有很多术语的，这个是我们学习树形结构必须掌握的。
<1> 父节点，子节点，兄弟节点
这个就比较简单了，B和C的父节点就是A，反过来说就是B和C是A的子节点。B和C就是兄弟节点。
<2> 结点的度
其实”度“就是”分支数“，比如A的分支数有两个“B和C",那么A的度为2。
<3> 树的度
看似比较莫名其妙吧，他和”结点的度“的区别就是，树的度讲究大局观，乃树中最大的结点度，其实也就是2。
<4> 叶结点，分支结点
叶结点就是既没有左孩子也没有右孩子结点，也就是结点度为0。分支节点也就是if的else的条件咯。
<5> 结点的层数
这个很简单，也就是树有几层。
<6> 有序树，无序树
有序树我们先前也用过，比如“堆”和“二叉排序树”，说明这种树是按照一定的规则进行排序的，else条件就是无序树。
<7> 森林
现实中，很多的树形成了森林，那在数据结构中，我们把上图的“A”节点砍掉，那么B，C子树合一起就是森林咯。
2: 树的表示
树这个结构的表示其实有很多种，常用的也就是“括号”表示法。
比如上面的树就可以表示为：(A(B(D),(E)),(C(F),(G)))
二： 二叉树
在我们项目开发中，很多地方都会用到树，但是多叉树的处理还是比较纠结的，所以俺们本着“大事化小，小事化了“的原则
把”多叉树“转化为”二叉树“，那么问题就简化了很多。
1： ”二叉树“和”树“有什么差异呢？
第一点: 树的度没有限制，而“二叉树”最多只能有两个，不然也就不叫二叉树了，哈哈。
第二点：树中的子树没有左右划分，很简单啊，找不到参照点，二叉树就有参照物咯。
2： 二叉树的类型
二叉树中有两种比较完美的类型，“完全二叉树”和“满二叉树”。
<1> 满二叉树
除叶子节点外，所有节点的度都为2，文章开头处的树就是这里的“满二叉树”。
<2> 完全二叉树
必须要满足两个条件就即可： 干掉最后一层，二叉树变为“满二叉树”。
最后一层的叶节点必须是“从左到右”依次排开。
我们干掉文章开头处的节点“F和”G",此时还是“完全二叉树”，但已经不是“满二叉树”了，你懂的。
3： 二叉树的性质
二叉树中有5点性质非常重要，也是俺们必须要记住的。
<1> 二叉树中，第i层的节点最多有2(i-1)个。
<2> 深度为k的二叉树最多有2k-1个节点。
<3> 二叉树中，叶子节点树为N1个，度为2的节点有N2个，那么N1=N2+1。
<4> 具有N个结点的二叉树深度为（Log2 N）+1层。
<5> N个结点的完全二叉树如何用顺序存储，对于其中的一个结点i，存在以下关系，
2*i是结点i的父结点。
i/2是结点i的左孩子。
(i/2)+1是结点i的右孩子。
4： 二叉树的顺序存储
同样的存储方式也有两种，“顺序存储”和“链式存储”。
<1> 顺序存储
说实话，树的存储用顺序结构比较少，因为从性质定理中我们都可以看出只限定为“完全二叉树”，那么如果二叉树不是
“完全二叉树”，那我们就麻烦了，必须将其转化为“完全二叉树”，将空的节点可以用“#”代替，图中也可看出，为了维护
性质定理5的要求，我们牺牲了两个”资源“的空间。
<2> 链式存储
上面也说了，顺序存储会造成资源的浪费，所以嘛，我们开发中用的比较多的还是“链式存储”，同样“链式存储”
也非常的形象，非常的合理。
一个结点存放着一个“左指针”和一个“右指针”，这就是二叉链表。
如何方便的查找到该结点的父结点，可以采用三叉链表。
5: 常用操作
一般也就是“添加结点“，“查找节点”，“计算深度”，“遍历结点”，“清空结点”
<1> 这里我们就用二叉链表来定义链式存储模型
#region 二叉链表存储结构
/// <summary>
/// 二叉链表存储结构
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
public class ChainTree<T>
{
public T data;
public ChainTree<T> left;
public ChainTree<T> right;
}
#endregion
<2> 添加结点
要添加结点，我们就要找到添加结点的父结点，并且根据指示插入到父结点中指定左结点或者右结点。
#region 将指定节点插入到二叉树中
/// <summary>
/// 将指定节点插入到二叉树中
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="node"></param>
/// <param name="direction">插入做左是右</param>
/// <returns></returns>
public ChainTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChainTree<T> tree, ChainTree<T> node, T data, Direction direction)
{
if (tree == null)
return null;
if (tree.data.Equals(data))
{
switch (direction)
{
case Direction.Left:
if (tree.left != null)
throw new Exception("树的左节点不为空，不能插入");
else
tree.left = node;
break;
case Direction.Right:
if (tree.right != null)
throw new Exception("树的右节点不为空，不能插入");
else
tree.right = node;
break;
}
}
BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);
BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);
return tree;
}
#endregion
<3> 查找节点
二叉树中到处都散发着递归思想，很能锻炼一下我们对递归的认识，同样查找也是用到了递归思想。
#region 在二叉树中查找指定的key
/// <summary>
///在二叉树中查找指定的key
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="data"></param>
/// <returns></returns>
public ChainTree<T> BinTreeFind<T>(ChainTree<T> tree, T data)
{
if (tree == null)
return null;
if (tree.data.Equals(data))
return tree;
return BinTreeFind(tree, data);
}
#endregion
<4> 计算深度
这个问题纠结了我二个多小时，原因在于没有深刻的体会到递归，其实主要思想就是递归左子树和右子树，然后得出较大的一个。
#region 获取二叉树的深度
/// <summary>
/// 获取二叉树的深度
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public int BinTreeLen<T>(ChainTree<T> tree)
{
int leftLength;
int rightLength;
if (tree == null)
return 0;
//递归左子树的深度
leftLength = BinTreeLen(tree.left);
//递归右子书的深度
rightLength = BinTreeLen(tree.right);
if (leftLength > rightLength)
return leftLength + 1;
else
return rightLength + 1;
}
#endregion
<5> 遍历结点
二叉树中遍历节点的方法还是比较多的，有“先序”，“中序”，“后序”，“按层”，其实这些东西只可意会，不可言传，真的很难在口头
上说清楚，需要反复的体会递归思想。
先序：先访问根，然后递归访问左子树，最后递归右子树。（DLR模式）
中序：先递归访问左子树，在访问根，最后递归右子树。（LDR模式）
后序：先递归访问左子树，然后递归访问右子树，最后访问根。（LRD模式）
按层：这个比较简单，从上到下，从左到右的遍历节点。
#region 二叉树的先序遍历
/// <summary>
/// 二叉树的先序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTree_DLR<T>(ChainTree<T> tree)
{
if (tree == null)
return;
//先输出根元素
Console.Write(tree.data + "\t");
//然后遍历左子树
BinTree_DLR(tree.left);
//最后遍历右子树
BinTree_DLR(tree.right);
}
#endregion
#region 二叉树的中序遍历
/// <summary>
/// 二叉树的中序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTree_LDR<T>(ChainTree<T> tree)
{
if (tree == null)
return;
//优先遍历左子树
BinTree_LDR(tree.left);
//然后输出节点
Console.Write(tree.data + "\t");
//最后遍历右子树
BinTree_LDR(tree.right);
}
#endregion
#region 二叉树的后序遍历
/// <summary>
/// 二叉树的后序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTree_LRD<T>(ChainTree<T> tree)
{
if (tree == null)
return;
//优先遍历左子树
BinTree_LRD(tree.left);
//然后遍历右子树
BinTree_LRD(tree.right);
//最后输出节点元素
Console.Write(tree.data + "\t");
}
#endregion
#region 二叉树的按层遍历
/// <summary>
/// 二叉树的按层遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTree_Level<T>(ChainTree<T> tree)
{
if (tree == null)
return;
//申请保存空间
ChainTree<T>[] treeList = new ChainTree<T>[Length];
int head = 0;
int tail = 0;
//存放数组
treeList[tail] = tree;
//循环链中计算tail位置
tail = (tail + 1) % Length;
while (head != tail)
{
var tempNode = treeList[head];
head = (head + 1) % Length;
//输出节点
Console.Write(tempNode.data + "\t");
//如果左子树不为空,则将左子树存于数组的tail位置
if (tempNode.left != null)
{
treeList[tail] = tempNode.left;
tail = (tail + 1) % Length;
}
//如果右子树不为空，则将右子树存于数组的tail位置
if (tempNode.right != null)
{
treeList[tail] = tempNode.right;
tail = (tail + 1) % Length;
}
}
}
#endregion
<6> 清空二叉树
虽然C#里面有GC，但是我们能自己释放的就不麻烦GC了，同样清空二叉树节点，我们用到了递归，说实话，这次练习让我喜欢
上的递归，虽然XXX的情况下，递归的不是很好，但是递归还是很强大的。
#region 清空二叉树
/// <summary>
/// 清空二叉树
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTreeClear<T>(ChainTree<T> tree)
{
//递的结束点，归的起始点
if (tree == null)
return;
BinTreeClear(tree.left);
BinTreeClear(tree.right);
//在归的过程中，释放当前节点的数据空间
tree = null;
}
#endregion
最后上一下总的代码
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace ChainTree
{
public class Program
{
static void Main(string[] args)
{
ChainTreeManager manager = new ChainTreeManager();
//插入节点操作
ChainTree<string> tree = CreateRoot();
//插入节点数据
AddNode(tree);
//先序遍历
Console.WriteLine("\n先序结果为： \n");
manager.BinTree_DLR(tree);
//中序遍历
Console.WriteLine("\n中序结果为： \n");
manager.BinTree_LDR(tree);
//后序遍历
Console.WriteLine("\n后序结果为： \n");
manager.BinTree_LRD(tree);
//层次遍历
Console.WriteLine("\n层次结果为： \n");
manager.Length = 100;
manager.BinTree_Level(tree);
Console.WriteLine("\n树的深度为：" + manager.BinTreeLen(tree) + "\n");
Console.ReadLine();
}
#region 生成根节点
/// <summary>
/// 生成根节点
/// </summary>
/// <returns></returns>
static ChainTree<string> CreateRoot()
{
ChainTree<string> tree = new ChainTree<string>();
Console.WriteLine("请输入根节点，方便我们生成树\n");
tree.data = Console.ReadLine();
Console.WriteLine("根节点生成已经生成\n");
return tree;
}
#endregion
#region 插入节点操作
/// <summary>
/// 插入节点操作
/// </summary>
/// <param name="tree"></param>
static ChainTree<string> AddNode(ChainTree<string> tree)
{
ChainTreeManager mananger = new ChainTreeManager();
while (true)
{
ChainTree<string> node = new ChainTree<string>();
Console.WriteLine("请输入要插入节点的数据：\n");
node.data = Console.ReadLine();
Console.WriteLine("请输入要查找的父节点数据：\n");
var parentData = Console.ReadLine();
if (tree == null)
{
Console.WriteLine("未找到您输入的父节点，请重新输入。");
continue;
}
Console.WriteLine("请确定要插入到父节点的：1 左侧，2 右侧");
Direction direction = (Direction)Enum.Parse(typeof(Direction), Console.ReadLine());
tree = mananger.BinTreeAddNode(tree, node, parentData, direction);
Console.WriteLine("插入成功，是否继续？ 1 继续， 2 退出");
if (int.Parse(Console.ReadLine()) == 1)
continue;
else
break;
}
return tree;
}
#endregion
}
#region 插入左节点或者右节点
/// <summary>
/// 插入左节点或者右节点
/// </summary>
public enum Direction { Left = 1, Right = 2 }
#endregion
#region 二叉链表存储结构
/// <summary>
/// 二叉链表存储结构
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
public class ChainTree<T>
{
public T data;
public ChainTree<T> left;
public ChainTree<T> right;
}
#endregion
/// <summary>
/// 二叉树的操作帮助类
/// </summary>
public class ChainTreeManager
{
#region 按层遍历的Length空间存储
/// <summary>
/// 按层遍历的Length空间存储
/// </summary>
public int Length { get; set; }
#endregion
#region 将指定节点插入到二叉树中
/// <summary>
/// 将指定节点插入到二叉树中
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="node"></param>
/// <param name="direction">插入做左是右</param>
/// <returns></returns>
public ChainTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChainTree<T> tree, ChainTree<T> node, T data, Direction direction)
{
if (tree == null)
return null;
if (tree.data.Equals(data))
{
switch (direction)
{
case Direction.Left:
if (tree.left != null)
throw new Exception("树的左节点不为空，不能插入");
else
tree.left = node;
break;
case Direction.Right:
if (tree.right != null)
throw new Exception("树的右节点不为空，不能插入");
else
tree.right = node;
break;
}
}
BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);
BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);
return tree;
}
#endregion
#region 获取二叉树指定孩子的状态
/// <summary>
/// 获取二叉树指定孩子的状态
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="direction"></param>
/// <returns></returns>
public ChainTree<T> BinTreeChild<T>(ChainTree<T> tree, Direction direction)
{
ChainTree<T> childNode = null;
if (tree == null)
throw new Exception("二叉树为空");
switch (direction)
{
case Direction.Left:
childNode = tree.left;
break;
case Direction.Right:
childNode = tree.right;
break;
}
return childNode;
}
#endregion
#region 获取二叉树的深度
/// <summary>
/// 获取二叉树的深度
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public int BinTreeLen<T>(ChainTree<T> tree)
{
int leftLength;
int rightLength;
if (tree == null)
return 0;
//递归左子树的深度
leftLength = BinTreeLen(tree.left);
//递归右子书的深度
rightLength = BinTreeLen(tree.right);
if (leftLength > rightLength)
return leftLength + 1;
else
return rightLength + 1;
}
#endregion
#region 判断二叉树是否为空
/// <summary>
/// 判断二叉树是否为空
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public bool BinTreeisEmpty<T>(ChainTree<T> tree)
{
return tree == null ? true : false;
}
#endregion
#region 在二叉树中查找指定的key
/// <summary>
///在二叉树中查找指定的key
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="data"></param>
/// <returns></returns>
public ChainTree<T> BinTreeFind<T>(ChainTree<T> tree, T data)
{
if (tree == null)
return null;
if (tree.data.Equals(data))
return tree;
return BinTreeFind(tree, data);
}
#endregion
#region 清空二叉树
/// <summary>
/// 清空二叉树
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTreeClear<T>(ChainTree<T> tree)
{
//递的结束点，归的起始点
if (tree == null)
return;
BinTreeClear(tree.left);
BinTreeClear(tree.right);
//在归的过程中，释放当前节点的数据空间
tree = null;
}
#endregion
#region 二叉树的先序遍历
/// <summary>
/// 二叉树的先序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTree_DLR<T>(ChainTree<T> tree)
{
if (tree == null)
return;
//先输出根元素
Console.Write(tree.data + "\t");
//然后遍历左子树
BinTree_DLR(tree.left);
//最后遍历右子树
BinTree_DLR(tree.right);
}
#endregion
#region 二叉树的中序遍历
/// <summary>
/// 二叉树的中序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTree_LDR<T>(ChainTree<T> tree)
{
if (tree == null)
return;
//优先遍历左子树
BinTree_LDR(tree.left);
//然后输出节点
Console.Write(tree.data + "\t");
//最后遍历右子树
BinTree_LDR(tree.right);
}
#endregion
#region 二叉树的后序遍历
/// <summary>
/// 二叉树的后序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTree_LRD<T>(ChainTree<T> tree)
{
if (tree == null)
return;
//优先遍历左子树
BinTree_LRD(tree.left);
//然后遍历右子树
BinTree_LRD(tree.right);
//最后输出节点元素
Console.Write(tree.data + "\t");
}
#endregion
#region 二叉树的按层遍历
/// <summary>
/// 二叉树的按层遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
public void BinTree_Level<T>(ChainTree<T> tree)
{
if (tree == null)
return;
//申请保存空间
ChainTree<T>[] treeList = new ChainTree<T>[Length];
int head = 0;
int tail = 0;
//存放数组
treeList[tail] = tree;
//循环链中计算tail位置
tail = (tail + 1) % Length;
while (head != tail)
{
var tempNode = treeList[head];
head = (head + 1) % Length;
//输出节点
Console.Write(tempNode.data + "\t");
//如果左子树不为空,则将左子树存于数组的tail位置
if (tempNode.left != null)
{
treeList[tail] = tempNode.left;
tail = (tail + 1) % Length;
}
//如果右子树不为空，则将右子树存于数组的tail位置
if (tempNode.right != null)
{
treeList[tail] = tempNode.right;
tail = (tail + 1) % Length;
}
}
}
#endregion
}
}
我们把文章开头的“二叉树”的节点输入到我们的结构中，看看遍历效果咋样。
